شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | انواعی از استدلال](https://dl.my-dars.com/upload/image/01 (11)1728762453.jpg)
گزاره به يک حکم (يا ادعا) گفته می شود که يا دقيقاً درست و يا دقيقاً نادرست باشد.
اگر گزاره در تمام حالات ممکن درست باشد، گوييم آن گزاره درست است، ولی برای نادرست بودن آن، کافی است فقط در يک مورد نادرست شود.
بنابراين، در مواجهه با يک گزاره، در کل دو راه برای روشن کردن وضعيت آن وجود دارد.
رد کردن يا اثبات درستی
برايی رد يک ادعای کلی، روش زير را به کار می بريم.
برای نشان دادن اينكه يک حكم کلی نادرست است، کافی است مثالی آورده شود كه كليت آن حكم را رد كند. به چنين مثالی، (مثال نقض) گفته می شود.
اگر بتوانيم برای يک حکم مثال نقض بياوريم، در واقع اثبات کرده ايم که آن حکم نادرست است.
مثال
درستی يا نادرستی گزاره ی زير را تعيين کنيد.
الف برای هر عدد طبيعی n بزرگتر از 1، عدد \({2^n} - 1\) اول است.
نادرست؛ عدد \(n = 4\) براي اين حكم يک مثال نقض است:
\(\begin{array}{l}{2^4} - 1 = 16 - 1 = 15\\ \to 15 = 3 \times 5\end{array}\) اول نیست.
ب مجموع دو عدد گنگ عددی گنگ است.
نادرست است و مثال نقض دارد، عدد های \(a = \sqrt 2 \) و \(b = - \sqrt 2 \) هر دو گنگ هستند ولی جمعشان گویا است:
\(a + b = \sqrt 2 - \sqrt 2 = 0 \in \mathbb{Q}\)
مثالی که برای نقض يک حکم کلی آورده می شود، بايد دارای شرط زير باشد:
فرض عبارت داده شده را برقرار سازد، ولی حکم آن عبارت نادرست شود.
مثال
1 حكم (حاصل جمع سه عدد گنگ، عددی گنگ است.) را با مثال نقض رد کنيد.
بايد سه عدد گنگ ارائه دهيم كه جمعشان گنگ نشود (گويا باشد). عددهای گنگ \(3 - 2\sqrt 2 ,\sqrt 2 + 2,\sqrt 2 - 1\) این شرایط را دارند؛
\(3 - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 + 2 + \sqrt 2 - 1 = 4\)
2 هيچ دو عدد صحيح مانند x و y وجود ندارد که تساوي \({x^2} - {y^2} = {(x + y)^2}\) برقرار باشد.
نادرست است و مثال نقض دارد، عدد های \(x = 1\) و \(y = 0\) وجود دارند؛
\({x^2} + {y^2} = {1^2} + {0^2} = 1 + 0 = 1\) و \({(x + y)^2} = {(1 + 0)^2} = {1^2} = 1\)
ممکن است با بررسی مثال های گوناگون، نتوانيم هيچ مثال نقضی پيدا کنيم و تمام مثال های آورده شده، حکم را تاييد کنند. در اين صورت، توجه کنيد:
روش نتيجه گيری با بررسی چند مثال و مشاهده ی درستی حکم را (استدلال استقرايی) گويند. اين روش در علوم تجربی کاربرد فراوان دارد. اما در ریاضیات بعد از به کار بردن استدلال استقرايی، حکم را به عنوان يک (حدس) يا (فرضيه) می پذيريم.
برای اينکه فرضيه يا حدس تاييد قطعی شود، نياز به اثبات دارد که توسط دو مؤلفه ی زير انجام می شود.
اصول و احکامی که قبلاً درستی آنها پذيرفته يا اثبات شده است.
معمولاً حقايق پذيرفته شده ی قبلی با روش های درست استدلال، مفروضات مسأله را به کار می برنـد تـا يـک حکـم جديـد اثبات شود.
برخی حقايق پذيرفته شده که در اثبات ها بيشتر به کار می روند را ببينيد:
هر عدد زوج به صورت \(2k\) و هر عدد فرد به صورت \(2k - 1\) است.
هر عدد گويا را ميتوان به صورت کسر \(\frac{m}{n}\) نوشت که m و n دو عدد صحيح بوده و مخرج غير صفر است.
هر عددی که نتوان آن را به صورت کسر گويا نوشت، گنگ است.
می توان روش های اثبات احکام رياضی را در دو نوع کلی طبقه بندی کرد:
اثبات مستقيم و اثبات غيرمستقيم
در روش هايی که در اين گروه جای می گيرند، فرض مسأله و حقايق قبلی به طور مناسب به کار رفته، حکم تاييد می شود و اثبات صورت می پذيرد.
در اين گروه از روش های اثبات، به نوعی حکم مسأله و حقايق قبلی را مورد استفاده قرار داده و درسـت بـودن حکـم را نتيجه می گيريم.
مثال
1 نشان دهيد مربع هر عدد زوج، زوج و مربع هر عدد فرد هم فرد است.
اگر n عددی زوج باشد:
\(n = 2k \to {n^2} = 4{k^2} = 2 \times 2{k^2} = 2k' \to {n^2} = 2k'\)
اگر n عددی فرد باشد:
\(n = 2k + 1 \to {n^2} = 4{k^2} + 4k + 1 = 2 \times (2{k^2} + 2k) + 1 = 2k' + 1 \to {n^2} = 2k' + 1\)
2 نشان دهيد نتيجه گيری زير برای اعداد درست است.
\(ab = 0 \Rightarrow a = 0 \vee b = 0\)
اگر \(a = 0\) باشد، نتیجه گیری برقرار شده است.
اگر \(a \ne 0\) باشد، در این صورت \(\frac{1}{a}\) وجود دارد و طبق فرض:
\(ab = 0 \Rightarrow \frac{1}{a} \times ab = \frac{1}{a} \times 0 \Rightarrow 1 \times b = 0 \Rightarrow b = 0\)
پس نتیجه گیری همواره درست است.
گاهی استفاده از تکنيک زير، در اثبات مستقيم احکام مورد نياز است:
تفکیک فرض به تمام حالت های ممکن، و بررسی درستی حکم در هر حالت.
به هم ارزی زير بين گزاره ها توجه کنيد:
\(\begin{array}{l}({P_1} \vee {P_2} \vee ... \vee {P_K}) \Rightarrow q \Leftrightarrow \sim ({P_1} \vee {P_2} \vee ... \vee {P_K}) \vee q\\ \Leftrightarrow ( \sim {P_1} \wedge \sim {P_2} \wedge ... \wedge \sim {P_K}) \vee q\\ \Leftrightarrow ( \sim {P_1} \vee q) \wedge ( \sim {P_2} \vee q) \wedge ... \wedge ( \sim {P_K} \vee q)\\ \Leftrightarrow ({P_1} \Rightarrow q) \wedge ({P_2} \Rightarrow q) \wedge ... \wedge ({P_K} \Rightarrow q)\end{array}\)
یعنی اگر فرض در کل به حالت های \({P_2},{P_1}\) ... و \({P_K}\) تفکيک شده و هرکدام از آن ها درستی q را نشان دهند. درستی q در کل اثبات می گردد.
برای استفاده از اين روش، طبق گام های زير عمل می کنيم:
حكم مورد نظر را نادرست در نظر می گيريم؛ يعنی فرض می کنيم حکم نادرست باشد.
با توجه به فرض مرحله ی قبل و بيان استدلالی مناسب، (حقايق شناخته شده) يا (فرض) آن قضيه يا مسأله را نقض می كنيم.
نتيجه می گيريم حكم آن مسأله نمی تواند نادرست باشد و از ابتدا صحيح بوده است.
مثال
1 نشان دهید اگر \({n^2}\) فرد باشد، آنگاه n هم فرد است.
با برهان خلف پیش می رویم؛ فرض كنيد n فرد نباشد. پس n زوج است و چنان كه قبلاً ديديم، بايد\({n^2}\) هم زوج باشد كه با فرض تناقض دارد. پس حكم نمی تواند نادرست باشد و لذا صحيح خواهد بود.
2 اگر \(\alpha \) و \(\beta \) دو عدد گنگ و \(\alpha + \beta \) گویا باشد، نشان دهید عدد \(\alpha + 2\beta \) گنگ است.
با برهان خلف پیش می رویم:
اگر \(\alpha + 2\beta \) گویا باشد، چون تفریق دو عدد گویا، گویا است:
\(\alpha + 2\beta - (\alpha + \beta ) = \beta \) گویا
گویا بودن \(\beta \) با فرض تناقض دارد.
در اثبات به طريق بازگشتی به ترتيب زير عمل می کنيم:
درستی حكم را موقتاً می پذيريم.
با شروع از حکم، در چند مرحله به يک رابطه ی بديهی يا فرض داده شده می رسيم.
اکنون اگر تمام مراحل را بتوان از آخر به اول نتيجه گرفت، يعنی اعمال انجام شده برگشت پذير باشـند، درسـتی حكم تأييد می شود.
يک استنتاجِ درست، ممکن است برگشت پذير باشد يا نباشد؛ نمونه ای ببينيد:
استنتاج (\(x = 2 \to {x^2} = 4\) )برگشت پذیر نیست؛ زیرا نتیجه گیری (\({x^2} = 4 \to x = 2\) )
مثال
1 به روش بازگشتی ثابت کنيد: حاصل ضرب هر دو عدد حقيقی، کوچکتر يا مساوی نصف مجموع مربعات آنها است.
باید ثابت کنیم: \(xy \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\)
\(xy \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \to \times 2 \to 2xy \le {x^2} + {y^2} \to 0 \le {x^2} + {y^2} - 2xy \to 0 \le {(x + y)^2}\)
چون نامساوی آخر هميشه صحيح بوده و مراحل بالا برگشتپذير هستند، اثبات كامل است.
2 نامساوی \(a + \frac{1}{a} \ge 2\) را در \(a\rangle 0\) نشان دهید.
کافی است دو طرف حکم \(a + \frac{1}{a} \ge 2\) را در \(a\rangle 0\) ضرب کنیم:
\(a + \frac{1}{a} \ge 2 \to \times a \to {a^2} + 1 \ge 2a \to {a^2} - 2a + 1 \ge 0 \Rightarrow \left( {a - 1} \right) \ge 0\)
عبارت \(\left( {a - 1} \right) \ge 0\) همواره درست است و بعلاوه تمام مراحل بالا برگشت پذير هستند.
وقتی از برگشت پذيری استنتاج ها اطمينان داريد، بهتر است به جای استفاده از نماد \( \to \)، نماد \( \leftrightarrow \) را به کار ببرید.
گزاره ی درست را اثبات کرده و برای گزاره ی نادرست مثال نقض بياوريد.
الف مجموع دو عدد گنگ، عددی گنگ است.
نادرست است و مثال نقض دارد، عدد های \(a = \sqrt 2 \) و \(b = - {\kern 1pt} \sqrt 2 \) هر دو گنگ هستند، ولی جمعشان گویا است؛
\(\begin{array}{l}a + b = \sqrt 2 - \sqrt 2 = 0\\0 \in \mathbb{Q}\end{array}\)
ب اگر \(\alpha \) و \(\beta \) دو عدد گنگ و \(\alpha + \beta \) گویا باشد، نشان دهید عدد \(\alpha + 2\beta \) گنگ است.
با برهان خلف پیش می رویم؛ اگر \(\alpha + 2\beta \) گویا باشد، چون تفریق دو عدد گویا، گویا است؛ \(\alpha + 2\beta - (\alpha + \beta ) = \beta \) گویا بودن \(\beta \) با فرض تناقض دارد.
تهیه کننده: علیرضا نورالدّینی
